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一道趣题


这篇文章最后修改于 2020-02-20 06:58 下午


 

昨天在翻阅甬真,看到了一道很有意思的题目。

求\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\) 的值.

答案中的做法是

令原式\(=x\),有\(x^2=2+x\)

\(\because x>0,\therefore x=2\)

真是一个巧妙的代换。

书本评语:这两个(指前两道题)解题者极易陷于其中,不知所终。我们平时解题经常碰到这种状况,这时不能放弃追求 “简单、大气” 的理念,换个视角,宏观把握。正如霍金的 “果核中的宇宙”,宇宙的纷繁复杂,跳出来看看或许只是一个果核。

2020.2.20 更新:

刚在刷知乎时又看到了这道题,不过是在一个全新的高度。

同时,有了数列的极限之后,我们可以求出\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\) 的值。

记 \(x_1=\sqrt2\) , \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\),设 \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\;x_n=x\),两边取极限得\(x=\sqrt{2+x}\) ,得到二次方程 \(x^2-x-2=0\) ,解得 \(x=2\),因此\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=2\) 。

当然,上面省去了证明数列\(\left\{x_n\right\}\) 收敛的过程,这个需要用到更多极限的性质,在这里就不过多介绍了。

【极限】一篇文章,给高中生简单介绍极限 – Dylaaan 的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/107107928