一道趣题
本文发布于 1926 天前。

 

昨天在翻阅甬真,看到了一道很有意思的题目。
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}的值.
答案中的做法是

令原式=x,有x^2=2+x

\because x>0,\therefore x=2
真是一个巧妙的代换。

书本评语:这两个(指前两道题)解题者极易陷于其中,不知所终。我们平时解题经常碰到这种状况,这时不能放弃追求“简单、大气”的理念,换个视角,宏观把握。正如霍金的“果核中的宇宙”,宇宙的纷繁复杂,跳出来看看或许只是一个果核。

2020.2.20更新:

刚在刷知乎时又看到了这道题,不过是在一个全新的高度。

同时,有了数列的极限之后,我们可以求出\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} 的值。

x_1=\sqrt2x_{n+1}=\sqrt{2+x_n},设 \lim_{x\rightarrow+\infty}\;x_n=x,两边取极限得x=\sqrt{2+x} ,得到二次方程 x^2-x-2=0 ,解得 x=2,因此\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=2 。

当然,上面省去了证明数列{x_n} 收敛的过程,这个需要用到更多极限的性质,在这里就不过多介绍了。

【极限】一篇文章,给高中生简单介绍极限 – Dylaaan的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/107107928

标题:一道趣题
作者:IKK
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