本文发布于 2851 天前。
昨天在翻阅甬真,看到了一道很有意思的题目。
求$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$的值.
答案中的做法是
令原式$=x$,有$x^2=2+x$
$\because x>0,\therefore x=2$
真是一个巧妙的代换。
书本评语:这两个(指前两道题)解题者极易陷于其中,不知所终。我们平时解题经常碰到这种状况,这时不能放弃追求“简单、大气”的理念,换个视角,宏观把握。正如霍金的“果核中的宇宙”,宇宙的纷繁复杂,跳出来看看或许只是一个果核。
2020.2.20更新:
刚在刷知乎时又看到了这道题,不过是在一个全新的高度。
同时,有了数列的极限之后,我们可以求出$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$ 的值。
记 $x_1=\sqrt2$ , $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$,设 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\;x_n=x$,两边取极限得$x=\sqrt{2+x}$ ,得到二次方程 $x^2-x-2=0$ ,解得 $x=2$,因此$\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=2$ 。
当然,上面省去了证明数列${x_n}$ 收敛的过程,这个需要用到更多极限的性质,在这里就不过多介绍了。
【极限】一篇文章,给高中生简单介绍极限 – Dylaaan的文章 – 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/107107928